Exercise Chapter 19.4 - Solved - Design Gear 2 - Department of Mechanical Engineeing College FEI Collegiate SBC-Town Campus, Brazil
A CLC Hoobing machine pulley at the axle 1 inputs 7,36 kW (as the powerdriven) and spins at a 900 rpm speed.
Datasheet : `\eta_{spurgear}` = 97%, `\eta_{bearing\,per\,axle}` = 99%
`a'_{12}` = 121 mm `a'_{23}` = 148 mm `a'_{34}` = 180 mm Spur Gear(straight-cut) cement-stabilized iron alloy
15CrNi6, general purpose quality, deem as `Y_E`=1 for your sketch. $$ { z_A \, = \, 14 \,dentes, \, m_A \, = \, 5,5 \, mm, \, z_B \, = \, 21, \, m_B \, = \, 5,0 \,mm, \, z_C \, = \, 17\, \, m_C \, = \, 5,5mm } $$ $$ { z_D \, = \, 30, \, z_E \, = \, 27, \, z_F \, = \, 27, \, z_G \, = \, 12, \, z_H \, = \, 27, \, } $$ $$ { z_I \, = \, 42, \, m_I \, = \, 5,5mm, \, z_J \, = \, 30, \, z_K \, = \, 12, \, m_K \, = \, 6 \, mm, \, z_L \, = \, 30 \, dentes, } $$ $$ { m_L \, = \, 6 \, mm, \, z_M \, = \, 47. } $$

Possíveis engastes
The try outs might satisfies $$ { eixo_1 / eixo_2 \, : \text{engrenagem}_A / engr_D, \;\; engr_B / engr_E, \;\; engr_C / engr_F } $$ $$ { axle_1 / axle_2 \, : \text{gear}_A / engr_D, \;\; engr_B / engr_E, \;\; engr_C / engr_F } $$

$$ { \\eixo_2 / eixo_3 \, : engr_F / engr_H, \;\; engr_G / engr_I } $$

$$ { \\eixo_3 / eixo_4 \, : engr_J / engr_L, \;\; engr_K / engr_M } $$

$$ { a \, = \, a'; \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, \Rightarrow \, x_1 \, = \, x_2 \, = \, 0 } $$

$$ { \\V-Zero \, : \, a=a' \, ; \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, esta \, condição \, é \, suficiente \, sendo \, ainda \, : \\V-Zero \, : \, a=a' \, ; \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, this \, condition \, is \, enough \, moreover \, we \, head \, up \, to \, : \\Ｖーゼロ \, : \, a=a' \, ; \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, この場合はだけで足りるです。この場合、それだけで十分です。情報を追加しました。 } $$

$$ { \\(z_1+z_2) \, \ge \, 2.z_{min} \, \\V-Zero \, x_1 \, = \, -\, x_2 } $$

$$ { a \, \ne \, a'; \, (z_1 \, + \, z_2) \, \lt \, 2.z_{min} \, \Rightarrow \, x_1 \, = \, -x_2 \, = \, 0 \begin{cases} x_1, & \text{vide ábaco da página 118 ou 119, \\ look \, up \, for \, diagram \, datasheet \, on \, pages \, 118 \, and \, 119} \\ x_2 \end{cases} } $$

$$ { a'_{12} \, , \, comparando \, : comparing \, , \, , \, 比較 \,では \,(hikaku \, deha) \begin{cases} a_{AD} \, = \, \cfrac{5,5(14 \, + \, 30)}{2} \, = \, 121; \; a \, = a' \\ a_{BE} \, = \, \cfrac{5,0(21 \, + \, 27)}{2} \, = \, 120; \; a \, \lt \, a' \\ a_{CF} \, = \, \, \cfrac{5,5(17 \, + \, 27)}{2} \, = \, 121; \; a \, = \, a' \end{cases} } $$

$$ { Admintindo \, z_{minimo} \, = \, 17 \, (com \; \alpha \, = \, 20^o \, graus) \\ presuming \, z_{minimo} \, = \, 17 \, (based off \; \alpha \, = \, 20^o \, degree) \\ もしの場合は。(moushi no baai ha) \, z_{minimo} \, = \, 17 \, (基づいて(motozuite) \; \alpha \, = \, 20^o \, 角度(kakudo)) } $$

$$ { Par \, AD \, : \, Tipo \, de \, correção \, z_1 \, \lt \, z_{minimo}\, , \, logo \, V-zero // AD-Pair \, : \, Correctioness \, of \, Type \, z_1 \, \lt \, z_{minimun}\, , \, therefore \, it \, end \, up \, onto \, V-zero // AD-Pair \, : \, 訂正 \, の \, 種類 \, は \, z_1 \, \lt \, z_{最小}\, , \, それから \, に \, 正解 \, は \, V-zero \, です。 } $$

$$ { Par \, BE \, : \, Tipo \, de \, correção \, a \, \lt \, a' \, \Rightarrow \, 120 \, \lt \, 121 , \, logo \, V-positivo \\ BE-Pair \, : \, Correctioness \, of \, Type \, a \, \lt \, a' \, \Rightarrow \, 120 \, \lt \, 121 , \, therefore \, it \, outcomes \, in \, \, V-positivo } $$

$$ { Par \, CF \, : \, Não \, necessita \, de \, correção, z_1 \, \ge \, z_{minimo}
Pair \, CF \, : \, Does not \, requires \, correctioness \, z_1 \, \ge \, z_{minimum} } $$

$$ { a'_{23} \, = \, 148,5 \, comparando\; : \begin{cases} a_{FH} & \, = \, \cfrac{5,5(27 \, + \, 27)}{2} \, = \, 148,5 \, \implies a \, = a' \\ a_{GI} & \, = \, \cfrac{5,5(12 \, + \, 42)}{2} \, = \, 148,5 \, \implies a \, = \, a' \end{cases} \\ a'_{23} \, = \, 148,5 \, comparing\; : \begin{cases} a_{FH} & \, = \, \cfrac{5,5(27 \, + \, 27)}{2} \, = \, 148,5 \, \implies a \, = a' \\ a_{GI} & \, = \, \cfrac{5,5(12 \, + \, 42)}{2} \, = \, 148,5 \, \implies a \, = \, a' \end{cases} } $$

$$ { Par \, FH \, não \, necessita \, de \, correção, \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, admitido \, z_{min}=17; \, 27 \, \ge \, 17 \\Since \, we \, made \, the \, premise \, that \, z_{min}=17; \, 27 \, \ge \, 17 therefore \, the \, Pair \, FH \, doesn't \, requires \, correction } $$

$$ { Par \, GI \, : \, Tipo \, de \, correção \, z_1 \, \lt \, z_{min}, \, Logo \, V-Zero \\ GI \, pair \, : \, Correctioness \, of \, Type \, z_1 \, \lt \, z_{min}, \, therefore \, V-Zero } $$

$$ { a'_{34} \, = \, 180, \,comparando-os\; \, comparing \, them \, out\, : \begin{cases} a_{JL} & \, = \, \cfrac{6(30 \, + \, 30)}{2} \, = \, 180 \, \implies a \, = a' \\ a_{KM} & \, = \, \cfrac{6(12 \, + \, 47)}{2} \, = \, 177; \, \implies a \, \lt \, a' \end{cases} } $$

$$ { Par \, JL \, não \, necessita \, de \, correção, \, z_1 \, \ge \, z_{min} \, admitido \, z_{min}=17; \, 30 \, \ge \, 17 \\Since \, we \, made \, the \, premise \, that \, z_{min}=17; \, 30 \, \ge \, 17 \, JL-pair \, doesn't \; requires \, correctioness } $$

$$ { Par \, KM \, : \, Tipo \, de \, correção \, a \, \lt \, a', \, Logo \, V-Positivo \\KM-pair \, : as \, it \,\, end \,\, up \,\, on \,\, a \, \lt \, a', \, threfore \, Positive-V \, classification } $$

$$ { n_{eixo1} \, = \, 900 \, rpm; \, \frac{z_2}{z_1} \, = \, \frac{n_1}{n_2} \\ n_{axle1} \, = \, 900 \, rpm; \, \frac{z_2}{z_1} \, = \, \frac{n_1}{n_2} } $$

$$ { \frac{z_D}{z_A} \, = \, \frac{n_A}{n_D} \, = \, \frac{30 \,dentes}{14 \,dentes} \, = \, \frac{900rpm}{n_D} \, \Rightarrow \, n_D \, = \, 420 \, rpm \frac{z_D}{z_A} \, = \, \frac{n_A}{n_D} \, = \, \frac{30 \,teeth}{14 \,teeth} \, = \, \frac{900rpm}{n_D} \, \Rightarrow \, n_D \, = \, 420 \, rpm } $$

$$ { Rotação \, de \, saída \, no \, eixo \, 2 \, : \\ Revolutions \,\, which \,\, outputs \,\, from \,\, axle \,\, 2 : \\ n_AD \, = \, 420 \, rpm \\ \frac{27 \, dentes}{21 \, dentes} \, = \, \frac{900 \, rpm}{n_BE} \, \Rightarrow \, n_BE \, = \, 700 \, rpm \, e \, ainda \, temos \\ \frac{27 \, teeth}{21 \, teeth} \, = \, \frac{900 \, rpm}{n_BE} \, \Rightarrow \, n_BE \, = \, 700 \, rpm \, moreover \, it \, still \, has \\ \frac{27 \,dentes}{17 \,dentes} \, = \, \frac{900 \, rpm}{n_CF} \, \Rightarrow \, n_CF \, = \, 566 \, rpm \\ \frac{27 \,teeth}{17 \,teeth} \, = \, \frac{900 \, rpm}{n_CF} \, \Rightarrow \, n_CF \, = \, 566 \, rpm } $$

$$ { Rotação \, de \, saída \, no \, eixo \, 3 \, : \\Output \, revolutions \, on \, the \, axle \, 3 \, : \\ \frac{27 \, dentes}{27 \, dentes} \, = \, \frac{420 \, rpm}{n_FH} \, \Rightarrow \, n_FH \, = \, 420 \, rpm \\ \frac{27 \, dentes}{27 \, dentes} \, = \, \frac{700 \, rpm}{n_FH} \, \Rightarrow \, n_FH \, = \, 700 \, rpm \\ \frac{27 \, dentes}{27 \, dentes} \, = \, \frac{566 \, rpm}{n_FH} \, \Rightarrow \, n_FH \, = \, 560 \, rpm \\ rotações GI \\ \frac{42 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{420 \, rpm}{n_GI} \, \Rightarrow \, n_GI \, = \, 120 \, rpm \\ \frac{42 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{700 \, rpm}{n_GI} \, \Rightarrow \, n_GI \, = \, 200 \, rpm \\ \frac{42 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{566 \, rpm}{n_GI} \, \Rightarrow \, n_GI \, = \, 161 \, rpm } $$

$$ { Rotação \, de \, saída FINAL \, no \, eixo \, 4 \, com \, base a, nas rotações \, de 1, \, 2\, e \,3 : \\Final \, output \, revolutions \, which \, leaves \, out \, from \, axle \, 4 \, based \, off \, previous \, axles \, 1, \, 2\, and \,3 : \\ \frac{30 \, dentes}{30 \, dentes} \, = \, \frac{420 \, rpm}{n_JL} \, \Rightarrow \, n_JL \, = \, 420 \, rpm \\ \frac{30 \, dentes}{30 \, dentes} \, = \, \frac{700 \, rpm}{n_JL} \, \Rightarrow \, n_JL \, = \, 700 \, rpm \\ \frac{30 \, dentes}{30 \, dentes} \, = \, \frac{566 \, rpm}{n_JL} \, \Rightarrow \, n_JL \, = \, 560 \, rpm \\ rotações KM \\ \frac{47 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{420 \, rpm}{n_KM} \, \Rightarrow \, n_KM \, = \, 107,1 \, rpm \\ \frac{47 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{700 \, rpm}{n_KM} \, \Rightarrow \, n_KM \, = \, 178,6 \, rpm \\ \frac{47 \, dentes}{12 \, dentes} \, = \, \frac{566 \, rpm}{n_KM} \, \Rightarrow \, n_KM \, = \, 144,4 \, rpm } $$

Resposta final das rotações de saída no eixo 4 - resolvido :
Final answer for the output revolutions at axle 4 - solved solution :
107,1 rpm, 178,6 rpm, 144,4 rpm, 420 rpm, 560 rpm e 700 rpm. 6 possíveis velocidades de saída.
107,1 rpm, 178,6 rpm, 144,4 rpm, 420 rpm, 560 rpm e 700 rpm. it end up on 6 possibles output speeds.

Resposta para [3] Diâmetro onde a espessura do dente da roda L se anula.
Answer for [3] Diameter where the L-cogwheel tooth's thickness turns into null.

$$ { \\ De \, forma \, genérica \, : \\In \, a \, generic \, way ; \\ s_{xj}=d_{xj}\Bigr[ \frac{1}{z_j}( \frac{\pi}{2} \, + \, 2.x_{j} tan\alpha ) + ev\alpha \, + \, - \, ev \, \alpha_{xj} \Bigr] } $$

$$ { \\ No \, exercício \, para \, engrenagem \, L \, : \\for \, this \, exercise \, this \, cogwheel \, L \, : \\ s_{L}=d_{L}\Bigr[ \frac{1}{z_L}( \frac{\pi}{2}+2.x_{L} tan\alpha ) + ev\alpha \, + \, - \, ev \, \alpha_{xj} \Bigr] } $$

$$ { \\ s_{L} \, = \, zero \\a = \frac{m_L}{2}(z_J + z_sL) = \frac{6}{2}(30 + 30) = 3(60) = 180\; mm \\a=a' pois a'_{3\,e\,4} \; é \; 180\; mm \; (dado\; no\; exercício) \\a=a' because a'_{3\,e\,4} \; it \, is \; 180\; mm \; (based \, off\, \, datasheet \, information) \\ Sabendo \, que \ o \, par \, JL \, é z_L \, \ge \, z_{min} \, não \, necessita \, de \, correção \, e \, portanto \, x_L \, = \, 0 \, (zero) \\ Be \, knowing \, that \ the \, JL \, pair \, it \, is z_L \, \ge \, z_{min} \, it \, doesn't \, requires \, correctioness \, and \, therefore \, x_L \, = \, 0 \, (zero) \\ s_{L}=d_{xL}\Bigr[ \frac{1}{z_L}( \frac{\pi}{2}+2.x_{L} tan\alpha ) + ev\alpha \, - \, ev \, \alpha_{xj} \Bigr] \\ zero =d_{xL}\Bigr[ \frac{1}{30}( \frac{\pi}{2}+2(0) tan(20,0°) ) + ev(20,0°) - \, ev \, \alpha_{x1} \Bigr] \\ 0 =d_{xL}\Bigr[ \frac{1}{30}( 1,57 + 0 ) + 0,0149044 - \, ev \, \alpha_{x1} \Bigr] \\ 0 =d_{xL}\Bigr[ \frac{1,57}{30} + 0,0149044 - \, ev \, \alpha_{x1} \Bigr] \\ 0 = d_{xL}( 0,052 + 0,0149044 - \, ev \, \alpha_{x1} ) = d_{xL}( 0,0672377 - \, ev \, \alpha_{x1} ) \\desenvolve \; d_{xL} \; fica \; : \; 0 = d_{xL}0,0672377 - d_{xL}.ev \, \alpha_{x1} \\develop it on \; d_{xL} \; turn out onto \; : \; 0 = d_{xL}0,0672377 - d_{xL}.ev \, \alpha_{x1} \\d_{xL}.ev \, \alpha_{x1} = 0,0672377d_{xL} \\ev \, \alpha_{x1} = 0,0672377 . \frac{ d_{xL} } { d_{xL} } \\ev \, \alpha_{x1} = 0,0672377 . \frac{ \cancel{d_{xL}} } { \cancel{d_{xL}} } } $$

Função envolvente do ângulo de pressão onde a
espessura zera é de 0,0672377
envolvent function of 0,0672377's pressure angle is where
the thickness turns out into a null

$${ \\página \; 98\; : \; eV 32,1° = 0,0670481 mais próximo de 0,0672377 \\page \; 98\; : \; eV 32,1° = 0,0670481 the closest value of 0,0672377 }$$

$${ \\página \; 100\; : d_{b1} = z_1.m.cos \alpha \\page \; 100\; : d_{b1} = z_1.m.cos \alpha \\d_{b1} = z_L.m.cos \alpha \\d_{b1} = 30(6)cos 20,0° \\d_{b1} = 30(6)0,93 \\d_{b1} = 169,14 }$$

$${ \\cos \alpha_x = \frac{ d_B }{ d_x } \Rightarrow d_x = \frac{ d_B }{ cos \alpha_x } \\d_x = \frac{ 169,14 }{ cos( 32,1° ) } \\d_x = \frac{ 169,14 }{ 0,847 } \\d_x = 199,66 \; mm }$$

$$ { z_K \, = \, 12, \, m_K \, = \, m_M \, = \, 6 \, mm, \, e \, z_M \, = \, 47 } $$

$$ { \\ Equação \, do \, critério\, flexão \, no \, pé \, do \, dente \, (Lewis) \\ Lewis-Equation \, criteria \, \, based \, off \, flexion \,\, on \,\, tooth \,\, bottom-base \,\, tooth. (Lewis) \\ \sigma_{max} \, = \, \frac{F_{tj}}{b.m}.Y_{Fj}.Y_{serviço}.Y_{\epsilon}.Y_{velocidade} \, \le \, \frac{\sigma_{flexão\,adm\,j}}{k_f} } $$

$$ { \\ equação \, de \, desgaste \, (critério \, de \, Hertz) \\ Hertz-Equation \, based \, off \, mechanical \, wear \, criteria \\b.(d_1')^2 \, \ge \, \frac{19.10^6.0,7.E_c.P_j.(i \, - \, 1)}{ sen(2.\alpha').n_1.(\sigma_{H\,admissível \, j })^2.i.Y_{serviço}.Y_{velocidade} } \\ e\, só\, se\, aplica\, para\, o\, material\, menos\, resistente \\only \, applies \,\, for \,\, the \,\, lowerst \,\, mechanical \,\, strenghness \,\, material \\ unidades \, | \, units \, : \\ Potência \, (P_j) \, : \, [kW] \, kilo \, Watt \\ Power input \, (P_j) \, : \, [kW] \, kilo \, Watt \\ Módulo \, de \, elasticidade \, equivalente \, (E_c) \, : \, [MPa] \, Mega \, Pascal \\ Elastic \, modulus \, equivalence \, of \, materials \, (formula \, among \, out \, of \, E1 \, and \, E2 \, properties) \\ largura \, dos \, dentes \, (b) \, : \, [mm] \, milimetro \\ b \, tooth \, width \, : \, [mm] \, milimeter \\ Diâmetro \, de \, trabalho \, (d'_1) \, : \, [mm] \\ Contact-interface \, Diameter \,\, (d'_1) \, : \, [mm] \\ Tensão \, de \, esmagamento \, admissível \, (\sigma_{Hadm}) \, ; \, [MPa] \, Mega \, Pascal \\ Smashing's \, tension \, admissible \, tension \, (\sigma_{Hadm}) \, ; \, [MPa] \, Mega \, Pascal \\ Rotação \, do \, pinhão \, (n_1) \, ; \, [rpm] \, rotação \, por \, minuto \\ Speed \, comes \, out \, from \, smaller \, cogwheel \, (n_1) \, ; \, [rpm] \, revolutions \, per \, minute } $$

$$ { \\ E_c \, = \, \frac{2.E_1.E_2}{E_1 \, + \, E_2} \, = \, 210.000 \, MPa \\ módulo de elasticidade equivalente da roda E1 and E2. \\ equivalent elastic modulus of E1 e E2 cogwheels. } $$

Fator de forma `Y_F` | Form Factor `Y_F`
precisa conhecer o tipo de engrenamento e correção do perfil `x_1` e `x_2`
como a=177 e a'= 180, logo a`\ne`a' 177 `\ne` 180, logo
it is need to be known what type of gear-coupling drive-system and what type of correctioness profile which `x_1` e `x_2`
as long as a=177 and a'= 180, therefore a`\ne`a' 177 `\ne` 180, therefore

$$ { \\ \begin{cases} V\;positivo \;|\; positive\; quando\; | \:when \; a' \gt a \\V\;negativo \; | \; negative \; quando\; \ \; when \; a' \lt a \end{cases} } $$

logo engrenamento é do tipo V-Positivo, necessita de correção
therefore the gear-coupling end up on Positive-V type of gear-coupling drive-system, that it need to applies correctness.
considerando `\alpha` usual `20^°`
based off `\alpha` usual `20^°` $$ { \\ \frac{a'}{a} = \frac{cos \alpha}{cos \alpha'} \Rightarrow cos \alpha' = \frac{a}{a'}.cos \alpha \\ \alpha' = arc\; cos \Bigr( \frac{a}{a'}.cos\alpha \Bigr)= arc cos \Bigr( \frac{177}{180}.cos\,20° \Bigr) \\ \alpha' = arc\; cos \Bigr( 0,983.0,94 \Bigr) = arc\; cos\; (0,924) = 22,4° } $$

$${ \\ eV\; \alpha \Rightarrow eV 20,0° = 0,0149044 \; (página\; 98) \\ eV\; \alpha' \Rightarrow eV 22,4° = 0,0212165 \; (página\; 98) }$$

$${ \\ eV\; \alpha' = B.tg\alpha + eV\, \alpha \Rightarrow eV\; 22,4° = B.tg(20,0°) + eV\, (20,0°) \\ 0,0212165 = B.0,363970 + 0,0149044 \\ B = \frac{0,0212165 - 0,0149044}{0,363970} \\ B = \frac{0,0063121}{0,363970} \Rightarrow B \,= \, 0,0173423 }$$

$${ \\ (x_1 + x_2) = \frac{B\, (z_1 + z_M)}{2} \Rightarrow (x_1 + x_2) = \frac{B\, (z_K + z_M)}{2} \\ (x_1 + x_2) = \frac{0,0173423\, (12 + 47)}{2} \Rightarrow (x_1 + x_2) = \frac{0,0173423\, (59)}{2} \\ (x_1 + x_2) = \frac{1,0231957}{2} = 0,51 \\ }$$

$${ \\ z_{medio} = \frac{z_1 + z_2}{2} = \\ z_{medio} = \frac{z_K + z_M}{2} = \\ z_{medio} = \frac{12 + 47}{2} = \frac{59}{2} \\ z_{medio} = 29,5 }$$

$$ { \\ \begin{cases} pinhão\; motriz\; consultar\; gráfico\; página\; 118 | when \; the \; smaller \; cog \; is \; driving force \; look \; up \; at \; page ; 118 \\coroao\; motriz\; consultar\; gráfico\; página\; 119 | when \; the \; large \; cog \; is \; driving force \; look \; up \; at \; page ; 119 \end{cases} } $$

valores de `x_1` e `x_2`
no eixo horizontal marcar os valores de `z_1`=`z_K`=12
e `z_2`=`z_M`=47. Com auxílio de uma regua encontrar a metade
do segmento entre `z_1` e `z_2`

$${ \\ sabemos\; que\; (x_1 + x_2) = 0,51 \\ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0,51}{2} \cong 0,25 }$$

cruzar o ponto da metade do segmento marcado
com auxílio de uma régua
com o valor na vertical de 0,25
com a intersepção da reta inclinada encontra os
valores de `x_1` e `x_2` conforme figura

to find out the values for `x_1` e `x_2` please check out by following this instructions ;
on the horizontal axle mark `z_1`=`z_K`=12
and `z_2`=`z_M`=47 (them) out then use a ruler to help you find
the halfway beteween`z_1` and `z_2`

$${ \\ we \; know \; that \; (x_1 + x_2) = 0,51 \\ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0,51}{2} \cong 0,25 }$$

cross the halfway point of the segment line made by
the ruler that helped you to and now mark
com o valor na vertical de 0,25
com a intersepção da reta inclinada encontra os
valores de `x_1` e `x_2` according to the image (to help you grasp in)

$${ \\ a' \gt a\; engrenamento\; positivo\; com\; x_1 = x_K = 0,36 \\e\; x_2 = x_M = 0,15 }$$

fator de forma, conhecidos `x_1` = 0,36 e `x_2` = 0,15
na página 120
entre as curvas C e D e na horizontal em `z_1`=12 `\Rightarrow` `Y_{F1} \cong` 3,7
entre as curvas D e E e na horizontal em `z_2`=47 `\Rightarrow` `Y_{F2} \cong` 2,5

Fator do grau de recobrimento `Y_{\epsilon}`, conhecidos `x_1` = 0,36 e `x_2` = 0,15

$${ \\ cos \alpha_{a1} = \underbrace{ cos \Bigr[ \frac{d_{b1}}{d_{a1}} \Bigr] }_{\text{quando temos o módulo}} = \underbrace{ \frac{z_1.cos \alpha . cos \alpha'}{ (z_1 + z_2)cos \alpha - z_2.cos \alpha' + 2cos \alpha' (1 - x_2) } }_{\text{quando não temos o módulo}} \\ \\ cos \alpha_{a1} = \frac{z_1.cos \alpha . cos \alpha'}{ (z_1 + z_2)cos \alpha - z_2.cos \alpha' + 2cos \alpha' (1 - x_2) } \\ cos \alpha_{a1} = \frac{12.cos 20° . cos 22,4°}{ (12 + 47)cos 20° - 47.cos 22,4° + 2cos 22,4° (1 - 0,15) } \\ cos \alpha_{a1} = \frac{12 (0,939) 0,924}{ (59)0,939 - 47.0,924 + 2(0,924)(0,85) } \\ cos \alpha_{a1} = \frac{10,42}{ 13,56 } = 0,768 \\ cos \alpha_{a1} = 0,768 \\ \alpha_{a1} = arc \; cos\, (0,768) \\ \alpha_{a1} = 39,82° }$$

$${ \\ cos \alpha_{a2} = \underbrace{ cos \Bigr[ \frac{d_{b2}}{d_{a2}} \Bigr] }_{\text{quando temos o módulo}} = \underbrace{ \frac{z_2.cos \alpha . cos \alpha'}{ (z_1 + z_2)cos \alpha - z_1.cos \alpha' + 2cos \alpha' (1 - x_1) } }_{\text{quando não temos o módulo}} \\ \\ cos \alpha_{a2} = \frac{z_2.cos \alpha . cos \alpha'}{ (z_1 + z_2)cos \alpha - z_1.cos \alpha' + 2cos \alpha' (1 - x_1) } \\ cos \alpha_{a2} = \frac{47.cos 20° . cos 22,4°}{ (12 + 47)cos 20° - 12.cos 22,4° + 2.cos 22,4° (1 - 0,36) } \\ cos \alpha_{a2} = \frac{47 (0,939) 0,924}{ (59)0,939 - 12.0,924 + 2(0,924)(0,64) } \\ cos \alpha_{a2} = \frac{40,77}{ 55,4 - 11,08 + 1,18 } = \frac{40,77}{ 56,58 - 11,08 } = \frac{40,83}{45,5} \\ cos \alpha_{a2} = \frac{40,77}{ 56,58 - 11,08 } = \frac{40,83}{45,5} \\ cos \alpha_{a2} = \frac{40,83}{45,5} = 0,879 \\ \alpha_{a1} = arc \; cos\, (0,879) \\ \alpha_{a1} = 28,47° }$$

conhecendo o ângulo de pressão do pinhão (`z_K`=12) `\alpha_{a1}`=39,82°
da coroa (`z_M`=47) `\alpha_{a2}`=28,47°
e do ângulo de pressão real `\alpha'`=22,4° calcular o grau de
recobrimento `\epsilon`

$${ \\ \epsilon = \frac{1}{2\pi}[ z_1(tan \alpha_{a1} - tan \alpha') + z_2(tan \alpha_{a2} - tan \alpha') ] \\ \epsilon = \frac{1}{2\pi}[ 12(tan (39,82°) - tan (22,4°) ) + 47(tan (28,47°) - tan (22,4°) ) ] \\ \epsilon = \frac{1}{2\pi}[ 12( 0,834 - 0,412 ) + 47(0,542 - 0,412 ) ] \\ \epsilon = \frac{1}{2\pi}[ 12( 0,422 ) + 47( 0,13 ) ] = \frac{1}{2\pi}[ 5,06 + 6,11 ] \\ \epsilon = \frac{11,17}{2.\pi} = \frac{11,17}{6,28} = 1,77}{ }$$

calculo do fator de recobrimento `Y_\epsilon` $${ \\Y_\epsilon = 0,25 + \frac{0,75}{\epsilon} \\Y_\epsilon = 0,25 + \frac{0,75}{1,77} \\Y_\epsilon = 0,25 + 0,42 = 0,67 }$$

Fator de velocidade (carga dinãmica) `Y_v`
dado que é uma engrenagem de boa qualidade comercial
ver tabela VI
precisão do dente : a* = 6

$${ \\lembrando \; d'_1 = z.m.\frac{a'}{a} = 12(6)\frac{180}{177} \\d'_1 = 12(6)\frac{180}{177}= 73,22 \; mm \\d'_1 = 73,22 \; mm\; = \; 73,22.10^-3 \; m }$$

$${ \\n_1 = n_K \\ n_1 = \frac{ n_{eixo\,1} }{ i_{max\, eixo\, 1\, e \, 2} . i_{max\, eixo\, 2\, e \, 3}} = \cfrac{ n_{eixo\,1} }{ \cfrac{z_D}{z_A} . \cfrac{z_I}{z_G} } }$$

faz o cálculo considerando o engrenamento de maior relação i (será o maior esforço solicitado, maior transmissão de potência para que seja projetada corretamente - Lewis e Hertz - largura b)

$${ \\ \frac{z_D}{z_A} = \frac{30}{14} = 2,14 \; (maior \; i_{max} \; eixo \; 1 \; e \; 2) \\ \frac{z_E}{z_B} = \frac{27}{21} = 1,28 \\ \frac{z_D}{z_A} = \frac{27}{17} = 1,58 }$$

$${ \\ \frac{z_H}{z_F} = \frac{27}{27} = 1,0 \\ \frac{z_I}{z_G} = \frac{42}{12} = 3,5 \; (maior \; i_{max} \; eixo \; 2 \; e \; 3) }$$

$${ \\n_1 = n_K \\ n_1 = \frac{ n_{eixo\,1} }{ i_{max\, eixo\, 1\, e \, 2} . i_{max\, eixo\, 2\, e \, 3}} = \frac{ n_{eixo\,1} }{ \frac{z_D}{z_A} . \frac{z_I}{z_G} } \\ n_1 = \cfrac{ 900\, rpm }{ \cfrac{30}{14} . \cfrac{42}{12} } \\ n_1 = \frac{ 900\, rpm }{ 2,14 . 3,5 } = \frac{ 900\, rpm }{ 7,49 } \\ n_1 = \frac{ 900\, rpm }{ 7,49 } = 120,16\; rpm \cong 120\; rpm }$$

$${ \\v = \pi.d'_1.n_1 = \pi. 73,22. 10^-3\; m . 120 \frac{rev}{min}.\frac{1min}{60s} = \pi(73,22. 10^-3)2 \\v = = \pi(73,22 \; . \; 10^{-3})2 = 0,46\; m/s }$$

$${ \\F_v = \frac{a* + \sqrt{v} }{a*} = \frac{6 + \sqrt{0,46} }{6} = \\F_v = \frac{6 + \sqrt{0,46} }{6} = \frac{6+0,67}{6} = 1,11 }$$

$$ { \\ F_{tangencial} \, : \\ P = F_t . v \; \Rightarrow F_t = \frac{Pot}{v}; \; \\v= \omega_2. \frac{d'_K}{2} \; \;\;\;\; (d'_K \; funcionamento) \\F_t = \cfrac{Pot}{ \omega_2. \cfrac{d'_K}{2} }; \; } $$

$$ { \\a = m_K \frac{ (z_K + z_M) }{2} \Rightarrow a = \frac{6}{2}.(12 + 47) \\a = \frac{ 6(59) }{2} = \frac{354}{2} = 177\; mm \\ \\a'_{KM} = a'_{eixo\, 3 \, e \,4} = 180\, mm\; (foi\; dado) \\ \frac{d'_K}{d_K} = \frac{a'_K}{a_K} \Rightarrow d'_K = d_K . \frac{a'_K}{a_K} \\d'_K = d_K . \frac{a'_K}{a_K} = z_K.m_K. \frac{a'_K}{a_K} \\d'_K = 12 \,(6) \, \frac{180}{177} = 72(1,017) = 73,22\; mm } $$

$$ { \\velocidade\; v: \\v = \pi (73,22\, . \, 10^{-3}\, m)\, \Bigr( \frac{120}{60} \frac{rev/min}{min/s} \Bigr) \\v = \pi (73,22\, . \, 10^{-3}\, m)\, 2 = 0,46 \; m/s } $$

$$ { \\ Pot_{saída} = P_K\; (potência\; na\; engrenagem\; K) \\P_K = P_1.\eta_{rolamento\, eixo\, 1}.\eta_{engrenagem\, eixo\, 1\,e\,2}.\eta_{rolamento\, eixo\, 2}.\eta_{engrenamento\, eixo\, 1\,e\, 2}.\eta_{rolamento\, eixo\, 3} \\P_K = P_1.\eta_{rol}^3.\eta_{engre}^2 = 7,36\, kW. 0.99^3 . 0,97 ^2 \\P_K = 7,36\, kW. 0.99^3 . 0,97 ^2 = 6,72\, kW } $$

$$ { \\F_tang = \frac{P_K}{v_K} = \frac{6,72\, kW}{\pi.73,22 \, . \, 10^{-3} \, . \, \cfrac{120}{60} } \\F_tang = \frac{6,72\, kW}{\pi.73,22 \, . \, 10^{-3} \, . \, 2 } = \frac{6720}{0,46} \\F_tang = \frac{6720}{0,46} = 14.608 \, Newtons \; de\; força } $$

materiais do pinhão e da coroa $${ \\ Tabela \; X\; página \; 106 \begin{cases} \sigma_{flexão \,adm \,1} = \sigma_{flexão \,adm \,2} = \;440 \; N/mm^2 \\ \sigma_{H\, adm\, 1} = \sigma_{H\, adm\, 2} = \;1.920 \; N/mm^2 \end{cases} }$$

Lewis do pinhão (K) $${ \\ \frac{F_t1}{b.m}Y_{F1}.Y_{\epsilon}.Y_s.Y_v \le \frac{\Sigma_{f \, adm \, 1}}{k_f} \\ assumindo \; k_f = 1,5 \\ \frac{14.608N}{b.6} 3,7 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, \le \frac{ 440 \, N/mm^2 }{ 1,5 } \\ b\ge \frac{14.608N}{440.6} 3,7 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, 1,5 \\ b\ge \frac{112.490,73}{2640} = 42,61 \; mm }$$

Lewis na coroa (M) $${ \\ \frac{F_t2}{b.m}Y_{F2}.Y_{\epsilon}.Y_s.Y_v \le \frac{\Sigma_{f \, adm \, 2} }{k_f} \\ assumindo \; k_f = 1,5 \\ \frac{14.608N}{b.6} 2,5 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, \le \frac{ 440 \, N/mm^2 }{ 1,5 } \\ b\ge \frac{14.608N}{440.6} 2,5 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, 1,5 \\ b\ge \frac{76007,25}{2640} = 28,79 \; mm }$$

Hertz, somente calcula para o material mais fraco
$${ \\ \frac{F_t2}{b.m}Y_{F2}.Y_{\epsilon}.Y_s.Y_v \le \frac{\Sigma_{f \, adm \, 2} }{k_f} \\ assumindo \; k_f = 1,5 \\ \frac{14.608N}{b.6} 2,5 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, \le \frac{ 440 \, N/mm^2 }{ 1,5 } \\ b\ge \frac{14.608N}{440.6} 2,5 \,(1)\,(1,25)\, \,(1,11)\, 1,5 \\ b\ge \frac{76007,25}{2640} = 28,79 \; mm }$$